Atelier

Matériaux & résistance des matériaux

Calculateurs de contraintes, déformations et critères de dimensionnement. Hypothèses classiques de la RDM (Bernoulli, Saint-Venant, élasticité linéaire).

Sollicitations simples

— traction · cisaillement

Traction / compression

σ = F/A · loi de Hooke

F (N)

A (m²)

E (Pa)

L₀ (m)

\sigma = \dfrac{F}{A} = 1.000e+8\ \mathrm{Pa}

\varepsilon = \dfrac{\sigma}{E} = 4.762e-4

\Delta L = \varepsilon L = 4.762e-4\ \mathrm{m}

Cisaillement simple

τ = F/A

F (N)

A (m²)

G (Pa)

\tau = \dfrac{F}{A} = 2.500e+7\ \mathrm{Pa}

\gamma = \dfrac{\tau}{G} = 3.125e-4

Flexion & torsion

— poutres et arbres

Flexion — section rectangulaire

σ = Mv/I

M (N·m)

b (m)

h (m)

I_{Gz} = \dfrac{bh^3}{12} = 4.167e-6\ \mathrm{m^4}

\sigma_{max} = \dfrac{Mv}{I} = 1.200e+7\ \mathrm{Pa}

Flexion — résistance & vérification

W = I/v · σ = M/W

Section

M (N·m)

b (m)

h (m)

σ_adm (Pa)

I_{Gz} = \dfrac{bh^3}{12} = 4.167e-6\ \mathrm{m^4}

W = \dfrac{I}{v} = \dfrac{bh^2}{6} = 8.333e-5\ \mathrm{m^3}

\sigma_{max} = \dfrac{M}{W} = 1.200e+7\ \mathrm{Pa}

\sigma_{max} / \sigma_{adm} = 0.051

Vérification OK

Répartition σ(y) — linéaire, nulle sur l'axe neutreσ_max = 12.00 MPa

Cisaillement en poutre — τ_max & vérification

τ = VS/(Ib) simplifié

Section

V (N)

b (m)

h (m)

Matériau

τ_adm (Pa)

A = bh = 5.000e-3\ \mathrm{m^2}

\tau_{max} = \dfrac{3V}{2A} = 1.500e+6\ \mathrm{Pa}

\tau_{max} / \tau_{adm} = 0.011

Vérification OK

Matériau : Acier S235 — R_e = 235 MPa — τ_adm = R_e/√3 ≈ 135.7 MPa

Torsion — arbre circulaire

τ = Tr/J

T (N·m)

d (m)

G (Pa)

L (m)

J = \dfrac{\pi d^4}{32} = 7.952e-8\ \mathrm{m^4}

\tau_{max} = \dfrac{Tr}{J} = 9.431e+7\ \mathrm{Pa}

\theta = \dfrac{TL}{GJ} = 7.860e-2\ \mathrm{rad}

Flèche — poutre rectangulaire

console & appuis simples

F (N)

L (m)

E (Pa)

b (m)

h (m)

f_{console} = \dfrac{FL^3}{3EI} = 3.810e-4\ \mathrm{m}

f_{appuis} = \dfrac{FL^3}{48EI} = 2.381e-5\ \mathrm{m}

Stabilité & critères

— flambage · von Mises · sécurité

Flambage d'Euler

F_cr = π²EI/(kL)²

E (Pa)

b (m)

h (m)

L (m)

k (—)

I_{min} = \dfrac{bh^3}{12} = 2.133e-7\ \mathrm{m^4}

F_{cr} = \dfrac{\pi^2 E I}{(kL)^2} = 1.105e+5\ \mathrm{N}

Critère de von Mises (2D)

σ_VM · contraintes principales

σ_x (Pa)

σ_y (Pa)

τ_xy (Pa)

\sigma_{1,2} = \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}

\sigma_1 = 1.640e+8\ \mathrm{Pa},\quad \sigma_2 = 3.597e+7\ \mathrm{Pa}

\sigma_{VM} = \sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x\sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2} = 1.493e+8\ \mathrm{Pa}

Coefficient de sécurité

s = R_e / σ

σ appliquée (Pa)

R_e (Pa)

s = \dfrac{R_e}{\sigma} = 1.306

Propriétés mécaniques — matériaux usuels

indicatif · 20 °C

Matériau	E (GPa)	ν	R_e (MPa)	R_m (MPa)	ρ (kg/m³)
Acier S235	210	0.3	235	360	7850
Acier 35NCD16	205	0.3	1000	1200	7850
Aluminium 2024-T3	73	0.33	345	483	2780
Aluminium 7075-T6	72	0.33	503	572	2810
Titane TA6V	114	0.34	880	950	4430
Cuivre	120	0.34	70	220	8960
Composite CFRP (UD)	135	0.3	1500	1500	1600
Verre	70	0.22	50	50	2500

E : module d'Young · ν : coefficient de Poisson · R_e : limite élastique · R_m : résistance à la rupture · ρ : masse volumique.