Mathématiques — Compendium

§1.0

Notations & rappels

$\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ — ensembles usuels. Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est dite de classe $\mathcal{C}^k$ si elle est $k$ -fois dérivable et que $f^{(k)}$ est continue.

\left|\langle u, v\rangle\right| \leq \|u\|\cdot\|v\|

(Cauchy-Schwarz)

\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|

(triangulaire)

§1.1

Limites & continuité

Une fonction $f$ admet $\ell$ pour limite en $a$ si :

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ |x-a|<\eta \Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon

\lim_{x\to a} f(g(x)) = \lim_{y\to g(a)} f(y)

(comp. des limites)

f \in \mathcal{C}^0([a,b]),\ f(a)f(b)<0 \Rightarrow \exists c \in ]a,b[,\ f(c)=0

(TVI)

Équivalents usuels en 0 : $\sin x \sim x,\ 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2},\ e^x-1 \sim x,\ \ln(1+x) \sim x$ .

§1.2

Dérivées usuelles

Soit $f, g$ deux fonctions dérivables :

(fg)' = f'g + fg'

(produit)

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

(quotient)

(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'

(composition)

(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}

(réciproque)

x^n

→

n x^{n-1}

\sin x

→

\cos x

\cos x

→

-\sin x

\tan x

→

1 + \tan^2 x

e^x

→

e^x

a^x

→

a^x \ln a

\ln x

→

1/x

\log_a x

→

1/(x\ln a)

\arcsin x

→

1/\sqrt{1-x^2}

\arccos x

→

-1/\sqrt{1-x^2}

\arctan x

→

1/(1+x^2)

\sinh x

→

\cosh x

\cosh x

→

\sinh x

\tanh x

→

1 - \tanh^2 x

§1.3

Théorèmes fondamentaux

f \in \mathcal{C}^0([a,b]),\ \text{dérivable sur } ]a,b[,\ f(a)=f(b)\Rightarrow \exists c,\ f'(c)=0

(Rolle)

\exists c \in ]a,b[,\ f(b)-f(a) = (b-a)f'(c)

(accroissements finis)

f(b) = \sum_{k=0}^{n}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a) + \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)

(Taylor-Lagrange)

§1.4

Intégrales remarquables

\int u\,dv = uv - \int v\,du

(IPP)

\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du

(changement de variable)

\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}

(gaussienne)

W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx,\quad W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}

(Wallis)

\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}

(Dirichlet)

§1.5

Développements limités en 0

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots

(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \cdots

\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots

\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n,\quad |x|<1

§1.6

Séries numériques & entières

\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}\ (q\neq 1)

(géométrique)

\sum \frac{1}{n^\alpha}\ \text{converge ssi}\ \alpha > 1

(Riemann)

\lim\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \ell < 1 \Rightarrow \sum u_n\ \text{converge absolument}

(d'Alembert)

\frac{1}{R} = \limsup\sqrt[n]{|a_n|}\quad (\text{Cauchy-Hadamard})

(rayon de convergence)

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

(Bâle)

§1.7

Équations différentielles

EDO du 1er ordre $y' + a(x)y = b(x)$ :

y(x) = e^{-A(x)}\left[\int b(x)e^{A(x)}\,dx + C\right],\ A(x)=\int a(x)\,dx

EDO linéaire d'ordre 2 à coefficients constants $ay'' + by' + cy = 0$ :

ar^2 + br + c = 0,\ \Delta = b^2 - 4ac

(équation caractéristique)

Selon le signe de $\Delta$ :

\Delta>0: y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}

\Delta=0: y = (C_1 + C_2 x)e^{r x}

\Delta<0: y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)

§1.8

Algèbre linéaire

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad - bc

(déterminant 2×2)

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

(inverse 2×2)

\det = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

(Sarrus 3×3)

\dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f) = \dim E

(théorème du rang)

Valeurs propres : $\det(A - \lambda I) = 0$ (polynôme caractéristique). $A$ diagonalisable ssi somme des dimensions des sous-espaces propres = $n$ .

\chi_A(A) = 0

(Cayley-Hamilton)

§1.9

Espaces euclidiens

\langle x,y\rangle = \sum x_i y_i

(produit scalaire)

e_k' = e_k - \sum_{j<k}\langle e_k, u_j\rangle u_j,\ u_k = \frac{e_k'}{\|e_k'\|}

(Gram-Schmidt)

Une matrice $A$ est orthogonale ssi $A^TA=I$ . Théorème spectral : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée.

§1.10

Probabilités & statistiques

P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}

(Bayes)

E[X] = \sum_k k\,P(X=k)\ \text{ou}\ \int x f(x)\,dx

(espérance)

V(X) = E[X^2] - E[X]^2

(variance)

P(|X-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}

(Bienaymé-Tchebychev)

\frac{1}{n}\sum X_i \xrightarrow{P} \mu

(LGN (faible))

\frac{\bar X_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{\mathcal L} \mathcal{N}(0,1)

(TCL)

Bernoulli(p)

E=p,\ V=p(1-p)

Binomiale B(n,p)

E=np,\ V=np(1-p)

Poisson(\lambda)

E=V=\lambda

Géométrique(p)

E=1/p,\ V=(1-p)/p^2

Uniforme[a,b]

E=(a+b)/2,\ V=(b-a)^2/12

Normale\ \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)

E=\mu,\ V=\sigma^2

Exponentielle(\lambda)

E=1/\lambda,\ V=1/\lambda^2

\chi^2(n)

E=n,\ V=2n

§1.11

Nombres complexes

z = a+ib = re^{i\theta},\ r = |z|,\ \theta = \arg z

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)

(Moivre)

\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

(Euler)

z^n = a \Rightarrow z_k = |a|^{1/n}e^{i(\arg a + 2k\pi)/n}

(racines n-ièmes)

§1.12

Séries de Fourier

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n\geq 1} a_n\cos(n\omega x) + b_n\sin(n\omega x)

a_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(x)\cos(n\omega x)\,dx

\frac{1}{T}\int_0^T|f|^2 = \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2}\sum (a_n^2+b_n^2)

(Parseval)

§1.13

Identités trigonométriques

\sin^2 x + \cos^2 x = 1,\ 1+\tan^2 x = \sec^2 x,\ 1+\cot^2 x = \csc^2 x

(Pythagore)

\sin(a\pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b

(addition)

\cos(a\pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b

\tan(a\pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a\tan b}

\sin 2x = 2\sin x\cos x,\ \cos 2x = 1-2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1

(duplication)

\sin^2 x = \tfrac{1-\cos 2x}{2},\ \cos^2 x = \tfrac{1+\cos 2x}{2}

(linéarisation)

\sin a\cos b = \tfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]

(Simpson (produit→somme))

\sin p + \sin q = 2\sin\tfrac{p+q}{2}\cos\tfrac{p-q}{2}

(somme→produit)

\sin x = \frac{2t}{1+t^2},\ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2},\ \tan x = \frac{2t}{1-t^2}

(t = tan(x/2))

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1,\ \cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x

(hyperboliques)

§1.14

Primitives usuelles

\int x^n\,dx

\frac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\neq -1)

\int \frac{dx}{x}

\ln|x|

\int e^{ax}\,dx

\frac{e^{ax}}{a}

\int \ln x\,dx

x\ln x - x

\int \sin x\,dx

-\cos x

\int \cos x\,dx

\sin x

\int \tan x\,dx

-\ln|\cos x|

\int \sec x\,dx

\ln|\sec x + \tan x|

\int \frac{dx}{1+x^2}

\arctan x

\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}

\arcsin x

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}

\mathrm{argsh}\,x

\int \frac{dx}{x^2-a^2}

\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|

\int \sin^2 x\,dx

\tfrac{x}{2} - \tfrac{\sin 2x}{4}

\int e^{-x^2}\,dx

\tfrac{\sqrt\pi}{2}\,\mathrm{erf}(x)

\int \frac{dx}{\sin x}

\ln\left|\tan\tfrac{x}{2}\right|

\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx

\text{décomp. éléments simples}

§1.15

Intégrales multiples & changements de variables

\iint_D f\,dx\,dy = \int_a^b\!\!\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx

(Fubini)

dx\,dy = r\,dr\,d\theta,\quad x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta

(polaires)

dV = r\,dr\,d\theta\,dz

(cylindriques)

dV = r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta

(sphériques)

\iint f(x,y)\,dx\,dy = \iint f(\Phi(u,v))\,|J_\Phi|\,du\,dv

(jacobien général)

\mathrm{Aire}(D) = \iint_D dx\,dy,\ \mathrm{Vol}(V) = \iiint_V dx\,dy\,dz

(aire / volume)

§1.16

Analyse vectorielle

\nabla f = \left(\partial_x f, \partial_y f, \partial_z f\right)

(gradient)

\nabla\cdot\vec F = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z

(divergence)

\nabla\wedge\vec F = \left(\partial_y F_z - \partial_z F_y,\ \partial_z F_x - \partial_x F_z,\ \partial_x F_y - \partial_y F_x\right)

(rotationnel)

\Delta f = \nabla^2 f = \partial_x^2 f + \partial_y^2 f + \partial_z^2 f

(laplacien)

\nabla\wedge(\nabla f) = \vec 0,\ \nabla\cdot(\nabla\wedge\vec F) = 0

(identités)

\oint_{\partial D}(P\,dx+Q\,dy) = \iint_D\left(\partial_x Q - \partial_y P\right)dx\,dy

(Green-Riemann)

\oint_{\partial S} \vec F\cdot d\vec\ell = \iint_S (\nabla\wedge\vec F)\cdot d\vec S

(Stokes)

\oiint_{\partial V}\vec F\cdot d\vec S = \iiint_V \nabla\cdot\vec F\,dV

(Ostrogradski (flux-div))

§1.17

Suites & convergence

u_n = u_0 + nr,\ \sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\tfrac{u_0+u_n}{2}

(suite arithmétique)

u_n = u_0 q^n,\ \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0\tfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

(suite géométrique)

u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n \Rightarrow r^2 = ar + b

(récurrence linéaire)

u_{n+1} = f(u_n),\ f\ k\text{-lip.}\ k<1 \Rightarrow u_n \to \ell,\ f(\ell)=\ell

(point fixe)

u_n \to \ell \Rightarrow \tfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n u_k \to \ell

(Cesàro)

n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\tfrac{n}{e}\right)^n

(Stirling)

§1.18

Convexité & optimisation

f''(x)\geq 0 \Leftrightarrow f\ \text{convexe sur}\ I

(convexité)

f\left(\sum \lambda_i x_i\right) \leq \sum \lambda_i f(x_i),\ \sum\lambda_i = 1

(Jensen)

H_f = (\partial_{ij} f)_{ij},\ H\succ 0 \Rightarrow \text{minimum local}

(Hessienne)

\nabla f = \sum_k \lambda_k \nabla g_k

(Lagrange (contraintes))

\nabla f + \sum \mu_i\nabla h_i = 0,\ \mu_i \geq 0,\ \mu_i h_i = 0

(KKT)

§1.19

Polynômes & arithmétique

\gcd(a,b) = d \Rightarrow \exists u,v\in\mathbb Z,\ au+bv = d

(Bézout)

a\mid bc,\ \gcd(a,b)=1 \Rightarrow a\mid c

(Gauss)

a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\ (p\ \text{premier},\ p\nmid a)

(Fermat)

a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n\ (\gcd(a,n)=1)

(Euler)

\sum x_i = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n},\ \prod x_i = (-1)^n\tfrac{a_0}{a_n}

(Viète)

A = BQ + R,\ \deg R < \deg B

(division euclidienne (poly))

§1.20

Réduction & formes quadratiques

\chi_A\ \text{scindé} \Rightarrow \exists P,\ P^{-1}AP\ \text{triangulaire}

(trigonalisation)

A \sim \bigoplus_k J_{n_k}(\lambda_k),\ J_n(\lambda) = \lambda I_n + N

(Jordan)

q(x) = x^T A x,\ A = A^T

(forme quadratique)

(p,q)\ \text{invariant par changement de base}

(signature (Sylvester))

A = U\Sigma V^T,\ \Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_i)

(décomp. SVD)

§1.21

Topologie & espaces métriques

Soit $(E,d)$ un espace métrique.

B(x_0,r) = \{x : d(x,x_0) < r\}

(boule ouverte)

x_n \to \ell \Leftrightarrow d(x_n,\ell) \to 0

(suite convergente)

K\ \text{compact} \Leftrightarrow \text{toute suite admet une s/s. cv. dans}\ K

(compact (Bolzano-Weierstrass))

Heine : continue sur compact ⇒ uniformément continue. Weierstrass : $f\in\mathcal C^0(K,\mathbb R)$ bornée et atteint ses bornes.

§1.22

Transformée de Laplace & Fourier

F(p) = \int_0^{+\infty} f(t)e^{-pt}\,dt

(Laplace)

\mathcal L\{f'\} = pF(p) - f(0),\ \mathcal L\{e^{at}\} = \tfrac{1}{p-a}

\hat f(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-i\xi t}\,dt

(Fourier (transformée))

\int |f|^2 = \tfrac{1}{2\pi}\int |\hat f|^2

(Plancherel)

(f*g)(x) = \int f(t)g(x-t)\,dt,\ \widehat{f*g} = \hat f\,\hat g

(convolution)

§1.23

Analyse complexe

\partial_x u = \partial_y v,\ \partial_y u = -\partial_x v

(Cauchy-Riemann)

f(z_0) = \frac{1}{2i\pi}\oint_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz

(formule de Cauchy)

\mathrm{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)

(résidu (pôle simple))

\oint_\gamma f(z)\,dz = 2i\pi \sum_k \mathrm{Res}(f,z_k)

(théorème des résidus)

f(z) = \sum_{n\in\mathbb Z} a_n(z-z_0)^n

(série de Laurent)

§1.24

Méthodes numériques

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},\ \text{convergence quadratique}

(Newton-Raphson)

\int_a^b f \approx \tfrac{h}{2}\left[f(a)+f(b)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)\right]

(trapèzes)

\int_a^b f \approx \tfrac{h}{3}[f_0 + 4\sum f_{\text{impair}} + 2\sum f_{\text{pair}} + f_n]

(Simpson)

y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n,y_n)

(Euler (EDO))

y_{n+1} = y_n + \tfrac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)

(RK4)

§1.25

Statistique inférentielle

\bar X = \tfrac{1}{n}\sum X_i,\ S^2 = \tfrac{1}{n-1}\sum (X_i - \bar X)^2

(moyenne / écart-type empiriques)

\bar X \pm z_{1-\alpha/2}\,\tfrac{\sigma}{\sqrt n}

(IC moyenne (σ connu))

\bar X \pm t_{n-1,1-\alpha/2}\,\tfrac{S}{\sqrt n}

(IC moyenne (σ inconnu))

\hat\beta = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{V(X)},\ \hat\alpha = \bar Y - \hat\beta \bar X

(régression linéaire)

R^2 = 1 - \frac{\sum (y_i - \hat y_i)^2}{\sum (y_i - \bar y)^2}

(coefficient R²)

§1.26

Calculateurs interactifs

Dérivée symbolique

d/dx

Expression f(x)

Variable

\frac{d}{dx}\left[sin(x)*x^2\right] = \cos\left( x\right)\cdot{ x}^{2}+2\cdot\sin\left( x\right)\cdot x

Ex: sin(x)*x^2, exp(-x^2), log(x)/x

Intégrale définie (Simpson)

∫ₐᵇ f(x) dx

f(x)

a

b

n (pair)

\int_{0}^{3.14159} x^2 + sin(x)\, dx \approx 12.33539937

Développement de Taylor

T_n(f)(x)