ΣCompendium
Livre II · Physique

Mécanique, thermo, électromagnétisme, ondes

Formulaire complet de physique pour la prépa scientifique : mécanique du point et du solide, thermodynamique, électromagnétisme de Maxwell, optique, ondes, mécanique des fluides et introduction à la physique quantique.

§2.0

Constantes fondamentales

cc2,998×108 m/s2{,}998\times 10^8\ \mathrm{m/s}
hh6,626×10−34 J⋅s6{,}626\times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}
ℏ\hbar1,055×10−34 J⋅s1{,}055\times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}
kBk_B1,381×10−23 J/K1{,}381\times 10^{-23}\ \mathrm{J/K}
NAN_A6,022×1023 mol−16{,}022\times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}
RR8,314 J K−1mol−18{,}314\ \mathrm{J\,K^{-1}mol^{-1}}
ee1,602×10−19 C1{,}602\times 10^{-19}\ \mathrm{C}
ε0\varepsilon_08,854×10−12 F/m8{,}854\times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}
μ0\mu_04π×10−7 H/m4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}
GG6,674×10−11 N m2/kg26{,}674\times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}
g0g_09,80665 m/s29{,}80665\ \mathrm{m/s^2}
mem_e9,109×10−31 kg9{,}109\times 10^{-31}\ \mathrm{kg}
§2.1

Mécanique du point

∑F⃗=ma⃗=dp⃗dt\sum \vec{F} = m\vec{a} = \frac{d\vec{p}}{dt}
(PFD (2e loi))
F⃗A→B=−F⃗B→A\vec{F}_{A\to B} = -\vec{F}_{B\to A}
(3e loi (action-réaction))
Ec=12mv2E_c = \tfrac{1}{2}mv^2
(énergie cinétique)
ΔEc=Wext\Delta E_c = W_{\text{ext}}
(th. énergie cinétique)
L⃗=r⃗∧p⃗\vec{L} = \vec{r} \wedge \vec{p}
(moment cinétique)
dL⃗dt=M⃗ext\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M}_{\text{ext}}
(th. moment cinétique)

Référentiel galiléen requis pour appliquer le PFD sans force d'inertie. En référentiel non-galiléen, ajouter −ma⃗e−ma⃗c-m\vec a_e - m\vec a_c.

§2.2

Mécanique du solide

I=∫r2 dmI = \int r^2\,dm
(moment d'inertie)
IΔ=IG+md2I_\Delta = I_G + m d^2
(Huygens)
Ec=12Iω2E_c = \tfrac{1}{2}I\omega^2
(énergie cinétique rotation)
Iθ¨=MextI\ddot\theta = M_{\text{ext}}
(th. scalaire moment)
tige (centre)112mL2\tfrac{1}{12}mL^2
disque (axe)12mR2\tfrac{1}{2}mR^2
sphère pleine25mR2\tfrac{2}{5}mR^2
sphère creuse23mR2\tfrac{2}{3}mR^2
cylindre creuxmR2mR^2
barre (bout)13mL2\tfrac{1}{3}mL^2
§2.3

Oscillateur harmonique

x¨+ω02x=0⇒x(t)=Acos⁡(ω0t+φ)\ddot x + \omega_0^2 x = 0 \Rightarrow x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi)
(libre)
x¨+2ξω0x˙+ω02x=0\ddot x + 2\xi\omega_0\dot x + \omega_0^2 x = 0
(amorti)
x¨+2ξω0x˙+ω02x=F0cos⁡(ωt)/m\ddot x + 2\xi\omega_0\dot x + \omega_0^2 x = F_0\cos(\omega t)/m
(forcé)

Régimes : ξ<1\xi<1 pseudo-périodique, ξ=1\xi=1 critique, ξ>1\xi>1 apériodique. Résonance d'amplitude pour ωr=ω01−2ξ2\omega_r = \omega_0\sqrt{1-2\xi^2}.

§2.4

Gravitation & forces centrales

F⃗=−GmMr2u^r\vec{F} = -\frac{GmM}{r^2}\hat{u}_r
(Newton)
Ep=−GmMrE_p = -\frac{GmM}{r}
(énergie potentielle)
T2a3=4π2GM\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}
(3e loi Kepler)
vlib=2GMRv_{\text{lib}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}
(vitesse de libération)
§2.5

Thermodynamique

dU=δQ+δWdU = \delta Q + \delta W
(1er principe)
pV=nRT, U=nCVTpV = nRT,\ U = nC_VT
(gaz parfait)
dS≥δQT, ΔSunivers≥0dS \geq \frac{\delta Q}{T},\ \Delta S_{\text{univers}} \geq 0
(2nd principe)
ηC=1−TfTc\eta_C = 1 - \frac{T_f}{T_c}
(rendement Carnot)
pVγ=cste, TVγ−1=cstepV^\gamma = \text{cste},\ TV^{\gamma-1} = \text{cste}
(adiabatique réversible)
Cp−CV=nR, γ=Cp/CVC_p - C_V = nR,\ \gamma = C_p/C_V
(Mayer)
§2.6

Mécanique des fluides

p+12ρv2+ρgz=cstep + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{cste}
(Bernoulli)
ρ1S1v1=ρ2S2v2\rho_1 S_1 v_1 = \rho_2 S_2 v_2
(continuité)
ρDv⃗Dt=−∇p+μ∇2v⃗+ρg⃗\rho\frac{D\vec v}{Dt} = -\nabla p + \mu\nabla^2\vec v + \rho\vec g
(Navier-Stokes)
Π⃗=−ρfluide V g⃗\vec\Pi = -\rho_{\text{fluide}}\,V\,\vec g
(Archimède)
Q=πR4Δp8μLQ = \frac{\pi R^4 \Delta p}{8\mu L}
(Poiseuille)
§2.7

Électromagnétisme — Maxwell

∇⋅E⃗=ρε0\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
(Maxwell-Gauss)
∇⋅B⃗=0\nabla\cdot\vec{B} = 0
(Maxwell-flux)
∇∧E⃗=−∂B⃗∂t\nabla\wedge\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
(Maxwell-Faraday)
∇∧B⃗=μ0j⃗+μ0ε0∂E⃗∂t\nabla\wedge\vec{B} = \mu_0\vec{j} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}
(Maxwell-Ampère)
F⃗=q(E⃗+v⃗∧B⃗)\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\wedge\vec{B})
(Lorentz)
Π⃗=E⃗∧B⃗μ0\vec\Pi = \frac{\vec E \wedge \vec B}{\mu_0}
(Poynting)
c=1ε0μ0c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}
(vitesse onde EM)
§2.8

Électrocinétique

U=RI, P=UI=RI2=U2/RU = RI,\ P = UI = RI^2 = U^2/R
(Ohm)
Q=CU, i=Cdudt, E=12CU2Q = CU,\ i = C\frac{du}{dt},\ E = \tfrac{1}{2}CU^2
(condensateur)
u=Ldidt, E=12Li2u = L\frac{di}{dt},\ E = \tfrac{1}{2}Li^2
(bobine)
ZR=R, ZL=jLω, ZC=1/(jCω)Z_R = R,\ Z_L = jL\omega,\ Z_C = 1/(jC\omega)
(impédances complexes)
§2.9

Ondes & optique

∂2ψ∂t2=c2∇2ψ\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = c^2\nabla^2\psi
(équation d'onde)
ψ(x,t)=Acos⁡(ωt−kx+φ), ω=ck\psi(x,t) = A\cos(\omega t - kx + \varphi),\ \omega = ck
(onde plane)
n1sin⁡θ1=n2sin⁡θ2n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2
(Snell-Descartes)
1p′−1p=1f′\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f'}
(lentille mince)
f′=f c±vrc∓vsf' = f\,\frac{c\pm v_r}{c\mp v_s}
(Doppler)
i=λDai = \frac{\lambda D}{a}
(interférences Young)
2dsin⁡θ=nλ2d\sin\theta = n\lambda
(Bragg)
§2.10

Relativité restreinte

Δt′=γΔt, γ=11−v2/c2\Delta t' = \gamma\Delta t,\ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
(dilatation temps)
L′=L/γL' = L/\gamma
(contraction longueur)
E=γmc2, E2=(pc)2+(mc2)2E = \gamma m c^2,\ E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2
(énergie)
§2.11

Physique quantique (intro)

λ=hp\lambda = \frac{h}{p}
(de Broglie)
E=hν=ℏωE = h\nu = \hbar\omega
(Planck)
iℏ∂ψ∂t=H^ψi\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \hat H\psi
(Schrödinger)
Δx Δp≥ℏ2\Delta x\,\Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
(Heisenberg)
En=−13,6n2 eVE_n = -\frac{13{,}6}{n^2}\ \mathrm{eV}
(niveaux H)
§2.12

Calculateurs interactifs

MRUA — cinématique

v₀, a, t
v(t)=v0+at=29.430 m/sv(t) = v_0 + at = 29.430\ \mathrm{m/s}
x(t)=v0t+12at2=44.145 mx(t) = v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2 = 44.145\ \mathrm{m}
v2−v02=2aΔx=866.125v^2 - v_0^2 = 2a\Delta x = 866.125

Tir parabolique

portée · flèche
Tvol=2v0sin⁡θg=7.208 sT_{vol} = \frac{2v_0\sin\theta}{g} = 7.208\ \mathrm{s}
H=v02sin⁡2θ2g=63.710 mH = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} = 63.710\ \mathrm{m}
R=v02sin⁡(2θ)g=254.842 mR = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} = 254.842\ \mathrm{m}

Pendule simple

petites oscillations
T=2πLg=2.0061 sT = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} = 2.0061\ \mathrm{s}
f=0.4985 Hz,ω0=3.1321 rad/sf = 0.4985\ \mathrm{Hz},\quad \omega_0 = 3.1321\ \mathrm{rad/s}

Loi des gaz parfaits

pV = nRT
n=pVRT=0.999432 moln = \dfrac{pV}{RT} = 0.999432\ \mathrm{mol}

Rendement de Carnot

η_C
ηC=1−TfTc=62.50 %\eta_C = 1 - \dfrac{T_f}{T_c} = 62.50\,\%

Circuit RLC série

f₀, Q, ξ
f0=12πLC=1591.549 Hzf_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = 1591.549\ \mathrm{Hz}
Q=1RLC=1.0000Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}} = 1.0000
ξ=R2CL=0.5000\xi = \dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}} = 0.5000

Effet Doppler

f' = f(c±vr)/(c∓vs)
f′=1095.85 Hz(Δf=95.85)f' = 1095.85\ \mathrm{Hz}\quad (\Delta f = 95.85)